Réaliser un cadran solaire analemmatique

Réaliser un cadran solaire analemmatique

cadran analemmatique

Un cadran solaire analemmatique est un type de cadran assez peu répandu mais pourtant spectaculaire car il peut être tracé au sol très facilement selon de grandes dimensions, et c’est l’ombre d’une personne,

correctement placée sur le cadran qui indiquera l’heure solaire.
Un tel cadran est visible sur la terrasse sud du Pic du Midi.

Pour rentrer un peu dans le détail, ce type de cadran résulte de la projection verticale d’un cadran équatorial.

Il est tout à fait possible et facile de tracer un cadran analemmatique dans la cour d’une école ou sur toute autre surface horizontale (voir en fin d’article les photos d’un tracé avec des élèves de cycle 3) . Les étapes seront les suivantes :

– Déterminer la direction Nord-Sud

– Tracer l’ellipse supportant les indications des heures

– Placer les indications des heures sur l’ellipse

– Tracer les graduations centrales portant les dates

Nous vous proposons ci-dessous les étapes détaillées pour tracer un cadran analemmatique de grande dimension (~ 4m x 2,7m) adapté à la latitude moyenne des Hautes-Pyrénées (+43°N).

Le détail des calculs, pour adaptation à une autre latitude est donné en fin de page.

 

Vous pouvez également d’ores et déjà télécharger un plan du cadran prêt à imprimer sous différents formats :

cadran analemmatique centre
 Format PDF  Format image PNG  Format modifiable OpenOffice Draw ODG

 

Voici ces étapes dans le détail :

– Déterminer la direction Nord-Sud

Plusieurs possibilités s’offrent pour tracer « la méridienne » du lieu, c’est à dire la ligne imaginaire reliant pôle sud et pôle nord. C’est au-dessus de cette ligne que passera le Soleil à midi solaire, c’est à dire au moment où il est le plus haut dans le ciel.

Première possibilité : se servir d’une boussole, solution très approximative, puisque pôles géographique et magnétique ne correspondent pas, mais suffisante si l’on veut un tracé rapide.

Deuxième possibilité : se servir du logiciel Stellarium (un simulateur de ciel) pour déterminer quand le Soleil passe au méridien (c’est à dire à l’azimuth 180°). Il faut auparavant avoir bien paramétré Stellarium sur la position géographique à laquelle sera tracée le cadran. Dans l’exemple ci-dessous, à Agos-Vidalos, le 1er février, le Soleil passe au méridien vers 13h14 heure légale (de la montre). Ainsi pour tracer la méridienne, il suffira de tracer l’ombre d’un fil à plomb à cette même date/heure.

Capturestellarium

 

Troisième possibilité :

Au cours d’une matinée, tracer au sol et mesurer la longueur OA de l’ombre d’un fil à plomb, puis, au cours de l’après-midi attendre que l’ombre du fil atteigne la même longueur et tracer OB. La méridienne sera alors la bissectrice de l’angle AOB (ou la perpendiculaire à AB passant par O).

trace meridienneA ce stade, on peut donc tracer au sol (à la craie par exemple) la méridienne, sa perpendiculaire (sur une longueur d’au moins 2 mètres de part et d’autre du centre), et leur point d’intersection noté O’, centre du cadran analemmatique.

Tracer l’ellipse supportant les heures

Afin de tracer l’ellipse supportant les heures du cadran analemmatique, nous allons utiliser la « méthode du jardinier ». Elle consiste d’abord à tracer les deux foyers de l’ellipse (situés dans notre cas à 1,463m de part et d’autre du centre du cadran. Puis, en se munissant d’une cordelette (non élastique !) de 4m de long, dont les extrémités seront maintenues sur les foyers, on fait circuler une craie ou un crayon en maintenant la cordelette toujours bien tendue. On devrait alors obtenir une belle ellipse, dont le grand axe mesurera 4 mètres et le petit axe 2,728m.

cadran analemmatique jardinier

Placer les indications des heures sur l’ellipse

Nous allons maintenant placer les indications des heures sur l’ellipse. On peut utiliser les coordonnées cartésiennes (x, y) fournies dans les tableaux ci-dessous :

 matin 4h 5h 6h 7h 8h 9h 10h  11h 12h
 x (mètres)  -1,732m  -1,932m -2,000m -1,932m -1,732m -1,414m -1,000m -0,518m 0,000m
 y (mètres)  -0,682m  -0,353m 0,000m 0,353m 0,682m 0,964m 1,181m  1,318m 1,364m

 

 après-midi 13h 14h 15h 16h 17h 18h 19h  20h
 x (mètres) 0,518m 1,000m 1,414m 1,732m 1,932m 2,000m 1,932m 1,732m
 y (mètres) 1,318m 1,181m 0,964m 0,682m 0,353m 0,000m -0,353m -0,682m

cadran analemmatique centre placement points

Exemple de placement d’un point : 15h (ou 3h de l’après-midi) est placé aux coordonnées (x=1.414m, y=0.964m)

 Tracer les graduations centrales portant les dates

 Nous allons finalement placer les graduations centrales (le long de l’axe nord-sud du cadran). Ces graduations porteront des indications de date et serviront à se placer correctemement sur le cadran afin que l’ombre porte bien sur le cadran.
Il s’agit de les placer selon la coordonnée D indiquée dans le tableau ci-dessous (voir aussi la figure précédente) :

Date Coordonnées D de la marque
 1/01  -0,620m
 1/02  -0,448m
 1/03  -0,193m
1/04 +0,118m
1/05 +0,395m
1/06 +0,593m
1/07 +0,623m
1/08 +0,474m
1/09 +0,211m
1/10 -0,084m
1/11 -0,378m
1/12 -0,586m

 


 Mode d’emploi du cadran analemmatique

Se placer sur le cadran face au nord, les pieds joints, de chaque côté de la méridienne, et l’axe du corps placé à l’aplomb de la date du jour.

L’observateur porte une ombre sur le cadran, graduée d’heure en heure. On lit ainsi l’heure solaire vraie du lieu du cadran. Il suffit désormais :

– d’ajouter une ou deux heures suivant que l’on se trouve en période d’heure d’hiver ou en période d’heure d’été (considération valable particulièrement pour la longitude des Hautes-Pyrénées, très proche du méridien de Greenwich)

– puis d’ajouter « l’équation du temps », variable avec la date et donnée dans le tableau ci-dessous. Cette correction permet de passer de l’heure vraie à l’heure de temps moyen.
Exemple : au 1er janvier, ajouter 3 minutes à la lecture du cadran. Au 1er février, ajouter 13 minutes à la lecture du cadran, etc…

equ temps imcce


 Notes concernant le calcul d’un cadran analemmatique :

Voici quelques détails du calcul du cadran pour la latitude 43°, avec les formules qui permettront son adaptation à d’autres latitudes.

Le cadran équatorial dirgeant le tracé est par exemple choisi selon un cercle de rayon R=2000mm. Le style est dirigé suivant l’axe des pôles ; longueur utile R.tan 23,5° = 870mm. A une valeur de déclinaison D du soleil correspond un point sur le style situé à une hauteur R.tanD où le rayon du soleil dirigé sur le tracé du cercle le touchera.

L’ellipse du cadran analemmatique aura un grand axe 2R = 4000mm = 2a donc a = 2000mm.
Petit axe : 2R.sin(latitude) = 2728mm, donc b = 1364mm
On adopte une latitude de +43°N.
Le point de contact d’un rayon de soleil tombera à une distance O’E’ du point O’ (centre du cadran) égale à : R.tanD.cos(latitude).

Exemple : 1er janvier, D (déclin. soleil) = -23,05°, d’où O’E’ = -620mm

L’angle w que formera O’F’ avec le petit axe sera tel que : tan w = tan (AH)/sin(latitude) = 1,463.tan (AH)

Exemple : si AH (angle horaire) = 15° alors w = 21,4° (angle de l’ombre avec la direction N)

Tracé pratique du cadran sur le terrain : on peut placer les points horaires sur l’ellipse dans le repère constitué par ses axes.

y = Racine carrée (tan²w/a² + 1/b²) et x = y.tan w


Quelques photo du tracé d’un cadran avec des élèves de cycle 3 (Ecole de Barèges) :