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RETOUR: 5.1 Au cycle des apprentissages fondamentaux
5.2 Au cycle des approfondissements
Les trois exemples suivants rendent compte de quelques possibilités offertes par la calculatrice au cycle 3
Concours de calcul
Dans ces exercices (cf. description pour le cycle 2), on offre le choix à l'élève du moyen de calcul utilisé… et on lui permet de prendre conscience que le moyen plus rapide n'est pas toujours celui qu'on croit et que le calcul direct d'une expression n'est pas toujours la procédure la plus économique. Par exemple :
1) calculer vite 350 + 50 mentalement, à la main ou à la calculatrice, 13,6 x 10 ; 4,5 + 5,5 etc….
2) calculer à la calculatrice le plus vite possible
le quotient et le reste de 149 divisé par 7
23,7 + 23,7 + 23,7 + 23,7 + 23,7 + 23,7 + 23,7 + 23,7 + 23,7 + 23,7 (ici remarquer qu'on a 10 fois 23,7 permet décrire directement le résultat !)
Calculs dépassant la capacité d'affichage de la calculatrice
Prenons l'exemple d'une calculatrice dont l'écran permet l'affichage de 8 chiffres.
Calculer avec la calculatrice 74 400 000 + 53 000 789 : les deux nombres sont affichables , mais la frappe sur [=] ne donne pas le résultat attendu : selon les calculatrices il affiche ERREUR ou passe en notation exponentielle (un nombre à virgule suivi d'une puissance de 10). Le calcul à la main permet de trancher.
De plus cet essai prouve qu'il est nécessaire, avant d'utiliser la calculatrice , de vérifier l'ordre de grandeur du résultat, pour savoir s'il " tiendra " sur l'écran d'affichage.
Un travail intéressant peut être mené sur l'aide que peut apporter la calculatrice dans de tels cas :
Exemple 1 : calculer avec la calculatrice 85 156 426 + 78 562 256
Une frappe directe ne permet de conclure, une procédure possible est de scinder le nombre, par exemple de taper 156 426 [+] 562 256 ; d'écrire le résultat (718 682) ; puis de taper 85 [+] 78 ; d'écrire le résultat en lui affectant sa valeur dans le nombre cherché (soit 163 000 000) et de faire à la main la somme des deux nombres obtenus.
Exemple 2 : : calculer avec la calculatrice 123 456 x 789
Le résultat est inférieur à : 124 000 x 789 ; le calcul à la machine 124 [x] 789 donne 97 836 : le résultat est affichable directement car inférieur à 97 836 000.
Le résultat a 8 chiffres, il est lisible à l'affichage.
Exemple 3 : : calculer avec la calculatrice 231 456 x 789
Le résultat est inférieur à : 231 000 x 789 ; le calcul à la machine 231 [x] 789 donne 182 259 ; on obtient un nombre de 9 chiffres.
Le résultat est supérieur à : 230 000 x 789 ; le calcul à la machine 23 [x] 789 donne 18 47 ; le résultat est donc supérieur à 18 470 000 : il n'est pas affichable directement.
Procédure possible : décomposer le nombre en 231 000 + 456 ; effectuer séparément les calculs 231 x 789 et 456 x 789, à la calculatrice ; recomposer le résultat par écrit : 182 259 000 + 359 784 ;effectuer les derniers calculs par tranches.
Les calculs précédents imposés par les limitations de la calculatrice sont de véritables problèmes pour les élèves : ils nécessitent de réinvestir des connaissances en numération et sur la compréhension des techniques opératoires.
Décimaux : passer d'un nombre à un autre
Un premier nombre est affiché sur l'écran de la calculatrice (par exemple, 4,785). Sans éteindre la calculatrice, ni effacer le nombre affiché, il s'agit d'obtenir l'affichage de 4,805 en une seule opération.
Pour répondre, l'élève doit remarquer que le chiffre des centièmes est passé de 8 à 0 pour obtenir un nombre plus grand ; il a " avancé de 2 ", entraînant le chiffre des dixièmes. Il faut donc ajouter 2 centièmes et donc taper [+] 0,02 [=]. L'élève utilise plusieurs connaissances : repérage des chiffres, valeur du chiffre en fonction de sa position, équivalence entre 2 centièmes et 0,02.
Multiplication sans [x]
Il s'agit, sans utiliser la touche [x] et un minimum d'opérations sur la calculatrice, de calculer
les produits suivants : 387 x 204 et 387 x 199.
Pour le premier produit, les élèves peuvent par exemple calculer, à l'aide de la calculatrice :
38 700 + 38 700 + 387 + 387 + 387 + 387 et pour le second : 38 700 + 38 700 - 387
Ils ont dû utiliser implicitement la distributivité de la multiplication sur l'addition (multiplier 387 par 204 revient à faire la somme de 387 x 200 et de 387 x 4), l'équivalence entre multiplication et addition itérée (387 x 4 c'est comme 387 + 387 + 387 + 387), le fait que multiplier 387 par 200 revient à multiplier 387 par 100 puis le résultat par 2…
Trouver un quotient et un reste avec une calculatrice ordinaire
Comment, avec une calculatrice qui ne possède pas de touche " division euclidienne ", obtenir la solution du problème suivant :" le confiseur range 2 748 chocolats dans des boîtes de 45 chocolats .Combien de boîtes pleines obtient-il et combien reste-t-il de chocolats non rangés ? "
En calculant 2 748 : 45, la calculatrice affiche : 61.066666. Le nombre de boîtes ne peut être que 61. On peut en déduire que le quotient entier est 61. On peut alors obtenir le multiple de 45 immédiatement inférieur à 2 748, en calculant 45 x 61 (résultat : 2 745). Ce qui permet de calculer le reste : 2 748 - 2745 = 3. Les élèves peuvent vérifier le résultat en s'appuyant sur l'égalité fondamentale de la division euclidienne : 2 748 = (45 x 61) + 3.
Pour certains élèves maîtrisant les décimaux, la question se pose de savoir à quoi correspond la partie 0,0666666 (qui d'ailleurs est 0,06666667 pour certaines calculatrices) : elle correspond à la part de boîtes que remplirait le reste de bonbons. On peut retrouver ce reste 3 (ou, le plus souvent, une valeur approchée de ce reste -par exemple 2,999997) en enlevant 61 au quotient fourni et en multipliant cette valeur par 45.
Résoudre un problème, en réfléchissant… et en expérimentant
Avec la calculatrice, on ne peut utiliser que les touches [+], [x], [=] et 2. On affiche au départ le nombre 18. Sans effacer ni éteindre, comment peut-on atteindre le nombre 330, en utilisant le moins possible de calculs ?
Les élèves peuvent d'abord expérimenter diverses solutions… pour en tirer des conclusions sur la solution la plus économique qui consiste à s'approcher rapidement du nombre à atteindre par des multiplications par 2. Dans ce cas, aller d'abord de 18 à 20, puis de 20 à 40, 80, 160 et 320, puis, par ajouts successifs de 2, de 320 à 330.
D'autres cibles peuvent être proposées. Ainsi, si le nombre à atteindre était 360, il serait plus rapide, d'aller d'abord à 22 avant de commencer à doubler.
SUITE: Bibliographie
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