La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

L'usage des calculatrices conformes à la réglementation en vigueur et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé

EXERCICE 1 (4 points)

On considère la suite numérique (u_n) définie sur N par

Uo= a, et, pour tout entier n, Un+1 = u„ (2- U„ ) où a est un réel donné tel que 0 < a < 1.

1'- On suppose dans cette question que a = 1/8

a) Calculer U₁ et U₂.

b) Dans un repère orthonormal ( unité graphique 8 cm ), tracer, sur l'intervalle

[0 ; 2], la droite d d'équation y = x et la courbe P représentative de la fonction

f:x->x(2-x).

c) Utiliser dl et P pour construire sur l'axe des abscisses les points A1, A2, A3 d'abscisses respectives U1,U2 et U3 .

2°- On suppose dans cette question que a est un réel quelconque de l'intervalle ]0 ; 1 [.

a) Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0 < Un < 1.

b) Montrer que la suite (u„) est croissante.

c) Que peut-on en déduire ?

3°- On suppose à nouveau dans cette question que a = 1/8

On considère la suite numérique (v„) définie sur N par v„ =1-u„ .

a) Exprimer, pour tout entier n, v„.+1 en fonction de v„.

b) En déduire l'expression de v„ en fonction de n.

c) Déterminer la limite de la suite (v„), puis celle de la suite (un).

EXERCICE 2 (5 points)

Première partie

On considère, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation suivante (E): z³+2z²-16=0

1'- Montrer que 2 est solution de ( E ), puis que ( E ) peut s'écrire sous la forme (z-2)(az² +bz+c)=0

où a, b et c sont trois réels que l'on déterminera.

2°- En déduire les solutions de l'équation ( E ) sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.

Deuxième partie _

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct (O, u , v).

1°- Placer les points A, B et D d'affixes respectives

z_A =-2-2i, z_B=2 et z_D=-2+2i.

2°- Calculer l'affixe z_c du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.

3°- Soit E l'image du point C par la rotation de centre B et d'angle – p/2 et F l'image du point C par la rotation de centre D et d'angle + p/2

_a) Calculer les affixes des points E et F, notées z_E et z_F .

b) Placer les points E et F.

4°- a) Vérifier que

c) En déduire la nature du triangle AEF.

d) 5°- Soit I le milieu de [EF].

Déterminer l'image du triangle EBA par la rotation de centre 1 et d'angle - p/2

Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les compléter.

Partie A : Contrôle de la première conjecture.

1 °- Calculer f' (x) pour tout réel x, et l'exprimer à l'aide de l'expression g(x) où g est la fonction définie sur R par g(x) = (x + 2)e ^x-1 -1.

2°- Etude du signe de g(x) pour x réel.

a) Calculer les limites de g(x) quand x tend vers +∞ puis quand x tend vers -∞.

b) b) Calculer g' (x) et étudier son signe suivant les valeurs de x.

c) En déduire le sens de variation de la fonction g, puis dresser son tableau de variation.

d) Montrer que l'équation g(x) = 0 possède une unique solution dans R. On note a cette solution. Montrer que 0,20 < a < 0,21.

e) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

3°- Sens de variation de la fonction f sur R.

a) Etudier, suivant les valeurs de x, le signe de f’(x)

b) En déduire le sens de variation de la fonction f

c) Que pensez-vous de votre première conjecture ?

Partie B Contrôle de la deuxième conjecture.

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal (0, i , j ) . On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport à l'axe (x'x).

2°- On considère la fonction h définie sur l'intervalle [ 0 ; 1] par

a) Calculer h'(x) pour x Î [ 0 ; 1 ], puis déterminer le sens de variation de h sur [0 ; 1].

b) En déduire un encadrement de f(a).

3°- a) Déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe C avec l'axe (x'x).

c) Préciser alors la position de la courbe C par rapport à l'axe des abscisses.

d) Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?

Partie C : Tracé de la courbe.

Compte tenu des résultats précédents, on se propose de tracer la partie Γ de C correspondant à l'intervalle [ - 0,2 ; 0,4], dans le repère orthogonal (0, i , j ) , avec les unités suivantes

Sur l'axe (x x) : 1 cm représentera 0,05 Sur l'axe (y 'y) : 1 cm représentera 0,001

l- Recopier le tableau suivant et compléter celui-ci à l'aide de la calculatrice en indiquant les valeurs approchées sous la forme n.10^-4 (n entier relatif).

x	-0,20	-0,15	-0,10	-0,05	0	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40
.f (x)

2°- Tracer alors I' dans le repère choisi.

Partie D : Calcul d'aire.

On désire maintenant calculer l'aire du domaine D fermé délimité par la courbe Γ,

l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x =1- ln(2).

1 °- A l'aide d'une double intégration par parties, déterminer une primitive sur R de la fonction

x -> x²e^x .

2°- En déduire une primitive F sur R de la fonction f.

3°- Calculer alors, en unités d'aire, l'aire du domaine D puis en donner une valeur approchée en cm²