La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

L'usage des calculatrices conformes à la réglementation en vigueur et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé

EXERCICE 1 (4 points)

On considère la suite numérique (u_n) définie sur N par

Uo= a, et, pour tout entier n, Un+1 = u„ (2- U„ ) où a est un réel donné tel que 0 < a < 1.

1'- On suppose dans cette question que a = 1/8

a) Calculer U₁ et U₂.

b) Dans un repère orthonormal ( unité graphique 8 cm ), tracer, sur l'intervalle

[0 ; 2], la droite d d'équation y = x et la courbe P représentative de la fonction

f:x->x(2-x).

c) Utiliser dl et P pour construire sur l'axe des abscisses les points A1, A2, A3 d'abscisses respectives U1,U2 et U3 .

2°- On suppose dans cette question que a est un réel quelconque de l'intervalle ]0 ; 1 [.

a) Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0 < Un < 1.

b) Montrer que la suite (u„) est croissante.

c) Que peut-on en déduire ?

3°- On suppose à nouveau dans cette question que a = 1/8

On considère la suite numérique (v„) définie sur N par v„ =1-u„ .

a) Exprimer, pour tout entier n, v„.+1 en fonction de v„.

b) En déduire l'expression de v„ en fonction de n.

c) Déterminer la limite de la suite (v„), puis celle de la suite (un).

EXERCICE 2 ( 5 points)
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Première partie

ABC est un triangle direct du plan orienté.

On désigne respectivement par I, J et K les milieux de [AB], [BC] et [CA].

Soit a un réel qui conduit à la réalisation de la figure jointe en page 5 sur laquelle on raisonnera.

La page 5 sera jointe à la copie.

d1 est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle a.
d2 est l'image de la droite (BC) par la rotation de centre J et d'angle a.
d3 est l'image de la droite (CA) par la rotation de centre K et d'angle a.
A₁ est le point d'intersection de d1 et d3, Bi celui de d₁ et d2, et C1 celui de d2 et d3.

1°- On appelle H le point d'intersection de (BC) et dl. Montrer que les triangles HIB et HBIJ sont semblables.

2°- En déduire que les triangles ABC et A1B1C1 sont semblables.

Deuxième partie

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct (O, u , v ). A - Construction de la figure

1°- Placer les points A(- 4 - 6i), B(14), C(-4 + 6i), A1 (3 - 7i), B1(9 + 5i) et C1(-3 - i).
2°- Calculer les affixes des milieux I, J et K des segments [AB], [BC] et [CA]. Placer ces points sur la figure.

3°- Montrer que Al, I, B1 sont alignés.

On admettra que B₁, J, C1 d'une part, et C₁, K, A1 d'autre part sont alignés.

4°- Déterminer une mesure en radians de l'angle (IB, IB, ).

On admettra que (KA, KA, ) = p/4 et (JC, JC1, ) = p/4

5°- Quelle est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle p/4 ?

B -Recherche d'une similitude directes transformant ABC en A1B1C1.

On admet qu'il existe une similitude directe s transformant les points A, B et C respectivement en Al, B1 et C1.

1 °- Montrer que l'écriture complexe de s est z' = (1/2 + ½ i) z + 2 - 2i , où z et z' désignent respectivement les affixes d'un point et de son image par s.

2°- a) Déterminer le rapport et l'angle de s.
b) Déterminer l'affixe du centre W de s.

3°- Que représente le point W pour le triangle ABC ?

EXERCICE 2 Suite

Le candidat joindra cette page à sa copie

Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les compléter.

Partie A : Contrôle de la première conjecture.

1 °- Calculer f' (x) pour tout réel x, et l'exprimer à l'aide de l'expression g(x) où g est la fonction définie sur R par g(x) = (x + 2)e ^x-1 -1.

2°- Etude du signe de g(x) pour x réel.

a) Calculer les limites de g(x) quand x tend vers +∞ puis quand x tend vers -∞.

b) b) Calculer g' (x) et étudier son signe suivant les valeurs de x.

c) En déduire le sens de variation de la fonction g, puis dresser son tableau de variation.

d) Montrer que l'équation g(x) = 0 possède une unique solution dans R. On note a cette solution. Montrer que 0,20 < a < 0,21.

e) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

3°- Sens de variation de la fonction f sur R.

a) Etudier, suivant les valeurs de x, le signe de f’(x)

b) En déduire le sens de variation de la fonction f

c) Que pensez-vous de votre première conjecture ?

Partie B Contrôle de la deuxième conjecture.

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal (0, i , j ) .
On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport à l'axe (x'x).

2°- On considère la fonction h définie sur l'intervalle [ 0 ; 1] par

a) Calculer h'(x) pour x Î [ 0 ; 1 ], puis déterminer le sens de variation de h sur [0 ; 1].

b) En déduire un encadrement de f(a).

3°- a) Déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe C avec l'axe (x'x).

c) Préciser alors la position de la courbe C par rapport à l'axe des abscisses.

d) Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?

Partie C : Tracé de la courbe.

Compte tenu des résultats précédents, on se propose de tracer la partie Γ de C correspondant à l'intervalle [ - 0,2 ; 0,4], dans le repère orthogonal (0, i , j ) , avec les unités suivantes

Sur l'axe (x x) : 1 cm représentera 0,05 Sur l'axe (y 'y) : 1 cm représentera 0,001

l- Recopier le tableau suivant et compléter celui-ci à l'aide de la calculatrice en indiquant les valeurs approchées sous la forme n.10^-4

(n entier relatif).

x	-0,20	-0,15	-0,10	-0,05	0	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40
.f (x)

2°- Tracer alors I' dans le repère choisi.

Partie D : Calcul d'aire.

On désire maintenant calculer l'aire du domaine D fermé délimité par la courbe Γ, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et
la droite d'équation x =1- ln(2).

1 °- A l'aide d'une double intégration par parties, déterminer une primitive sur R de la fonction

x -> x²e^x .

2°- En déduire une primitive F sur R de la fonction f.

3°- Calculer alors, en unités d'aire, l'aire du domaine D puis en donner une valeur approchée en cm²