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Enoncé : Construction d'un lieu à partir d'un petit dialogue entre amis
Alexandre et Dimitri sont de bons amis, ils prennent du plaisir à se lancer des défis.
Le défi du jour est posé par Alexandre :
- Mon cher Dimitri, je te donne un cercle (C) de centre O et un point P que je place ailleurs que sur le
cercle. Choisis un point M sur le cercle ; là où tu veux. En projetant orthogonalement le point O sur la
droite (PM), tu obtiens un point N [pied de la perpendiculaire à (PM) issue de O].
- La question que je pose est la suivante :
« Quel est la figure géométrique décrite par le point N lorsque M décrit le cercle (C) ? »
- Ne me dis pas que tu comptes me mettre dans l'embarras avec une question pareille ?
- Je ne te demande pas de faire des commentaires mais de répondre à la question posée.
- OK ça vient :
Le triangle OPN est évidemment rectangle en N. Comme je ne peux pas modifier tes données, je
considère que les points O et P sont fixes. Par contre, c'est moi qui choisis la position de M. Le point N
est donc variable sur le cercle de diamètre [OP]. Comme tu l'auras noté, je fais ici, dans ce raisonnement,
référence à une propriété caractéristique, et bien connue, des points d'un cercle de diamètre donné.
- Bravo, tu es sur la bonne voie mais quelle est ta conclusion ?
- Mais, mon cher Alexandre, n'ai-je pas été suffisamment clair ?
- N'as-tu pas observé que mon analyse me conduit à affirmer que le point N décrit certainement le cercle
de diamètre [OP] ?
- Mon pauvre Dimitri tu me déçois, ton analyse est incomplète.
Quant à ta conclusion, j'ai le regret de t'annoncer que, dans certains cas de figure, elle est fausse.
- Quoi ? tu me fais marcher !
- Prends un logiciel de géométrie dynamique, fais une figure et affiche le lieu de N.
Si la manipulation confirme ta conclusion, repositionne le point P sur l'écran jusqu'à ce que tu
comprennes ton erreur. Tu verras alors que ton analyse est à affiner et ta conclusion à revoir.
Je suis sûr que tu me sauras gré de t'avoir un jour « mis dans l'embarras » et qu'à l'avenir, dans tes
recherches de lieux géométriques, tu veilleras à ne rien négliger, et surtout pas ce qu'on appelle « la réciproque » .
Travail attendu :
- En utilisant un logiciel de géométrie dynamique, faire une figure illustrant la situation étudiée.
- Énoncer une conjecture relative au lieu du point N en identifiant les cas de figure à envisager.
- Que manque-t-il à l'analyse de Dimitri pour qu'elle soit « complète » ? Rédiger une analyse plus satisfaisante.
- Alexandre reproche à son ami Dimitri d'avoir négligé « la réciproque » . Que veut-il dire ?
Faire l'étude de cette réciproque.